मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} 3x, & x < 0 \\ \min \{1+x+[x], x+2[x]\}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$ जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि $\alpha$ और $\beta$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ संतत नहीं है और अवकलनीय नहीं है,तो $\alpha + \beta$ का मान ....... है।

मान लीजिए $f, g: R \rightarrow R$ दो वास्तविक-मान वाले फलन हैं जो $f(x)=\begin{cases} -|x+3| & , x < 0 \\ e^{x} & , x \geq 0 \end{cases}$ और $g(x)=\begin{cases} x^{2}+k_{1} x & , x < 0 \\ 4 x+k_{2} & , x \geq 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित हैं,जहाँ $k_{1}$ और $k_{2}$ वास्तविक स्थिरांक हैं। यदि $(g \circ f)$,$x=0$ पर अवकलनीय है,तो $(g \circ f)(-4)+(g \circ f)(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} x^{3}-3x+2, & x < 2 \\ x^{3}-6x^{2}+9x+2, & x \geq 2 \end{cases}$ है, तो:

मान लीजिए $f : (0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $\lim _{t \rightarrow x} \frac{f(x) \sin t - f(t) \sin x}{t-x} = \sin^2 x$ सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए। यदि $f \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{12}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) f \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4 \sqrt{2}}$
$(B) f(x) < \frac{x^4}{6} - x^2$ सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए
$(C)$ ऐसा $\alpha \in (0, \pi)$ मौजूद है कि $f^{\prime}(\alpha) = 0$
$(D) f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f(0)=0$,$f(\frac{\pi}{2})=3$ और $f^{\prime}(0)=1$. यदि $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ जहाँ $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$,तो $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=$

यदि एक फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है:
$\begin{cases} f(x) = x-1, & \text{जब } -\infty < x < 1 \\ f(x) = 0, & \text{जब } x=1 \\ f(x) = x^3-1, & \text{जब } 1 < x < \infty \end{cases}$
तो $x=1$ पर,$f$ है: